Help - Search - Members - Calendar
Full Version: Ένα εύκολο μπασκετικό-μαθηματικό προβληματάκι
BasketForum - Basketball talk. NBA, Euroleague, A1... > Στα αποδυτήρια > Γενικά κι αόριστα
Pages: 1, 2
NBAholic
QUOTE
Άντε ρεεεε!

Θα βάλει κανένας κάνα γρίφο;;


Αφού το ζητάτε, το απόγιομα θα βάλω το ζόρικο που έλεγα. Αν και θα ήταν πιο δίκαιο να περιμένω να επιστρέψει και ο Ντίζι στη βάση του, μιας και είναι από τους πρωταγωνιστές του προβλήματος.
Alexmei
εγώ τώρα δν μπορώ να σκεφτώ ένα καλό πρόβλημα...... 68.gif
Bonzo
Το πρόβλημα που λέω είναι με κάτι πειρατές που πρέπει να μοιραστούν ένα θυσαυρό...Αλλά πρέπει να σκεφτώ πως θα τον διασκευάσω μπασκετικά....
smile.gif smile.gif
Όταν βρψω χρόνο θα τον ποστάρω...
Αυτόν και άλλο ένα λίγο πιο εύκολο...
NBAholic
Χαίρομαι, γιατί δε φαίνεται να είναι ο ίδιος με το δικό μου.
dizzy_fingers
I'm home.
Βάλε τον γρύφο χόλικ smile.gif.
NBAholic
Δεν το συνέγραψα ακόμη. Αύριο θα τον έχετε. Αλλά μέχρι να τον πάρετε, κάντε λίγο ζέσταμα με κάτι που μοιάζει πολύ εύκολο:

Αγοράζετε ένα αντικείμενο με κόστος 7 ευρώ, το πουλάτε αντί 8, το ξαναγοράζετε για 9 και το πουλάτε αντί 10.
Η αξία του νομίσματος είναι σταθερή.
Πόσο είναι το κέρδος (αν υπάρχει);
dizzy_fingers
Το κέρδος είναι 2 ευρώ.

Συγκεκριμένα:
1) Αγοράζω με 7 ευρώ: Ζημιά 7 ευρώ.
2) Πουλάω με 8 ευρώ: Κέρδος 8 ευρώ...μείον την προηγούμενη ζημιά: -8-7 = 1 -> Κέρδος 1 ευρώ.
3) Αγοράζω με 9 ευρώ: Ζημιά 9 ευρώ....συν το ένα ευρώ που είχαμε καβάτζα από πρίν: -9+1= - 8 ευρώ -> Ζημιά 8 ευρώ.
4) Πουλάω με 10 ευρώ: Κέρδος 10 ευρώ, μείον την προηγούμενη ζημιά: 10-8 = 2 ευρώ.
Κέρδος 2 ευρώ.

Αυτό ισχύει, αν λάβουμε υπόψιν ότι τα παραπάνω λεφτά που παίρνουμε από το κεφάλαιό μας για να ξαναγοράσουμε ένα προϊόν, δεν υπολογίζονται σαν ζημιά.
Air Kef
Σε βλέπω σε φόρμα dizzy..holic να τον δυσκολέψεις έχει 2 in a row! tongue.gif
NBAholic
Ω, yes!
Ετοιμάσου, Dizzy!
Αν το λύσεις, ζήτα απ'τους καθηγητές σου να σε περάσουν 5 μαθήματα τζάμπα, ύστερα από εισήγησή μου. 19.gif
NBAholic
Nύχτα δίχως άστρα στο στρατόπεδο των Παχαιών…Ο βασιλιάς Dizzy (Ν) είναι προβληματισμένος, γιατί σχεδιάζει εκστρατεία εναντίον της αρχαίας Δοίου (η Τροία είχε ήδη καταληφθεί), αλλά δε λέει να φυσήξει αέρας και τα πλοία δε σαλπάρουν. Ο Dizzy κάλεσε τους δυο σοφούς του, Thrylos (Θ) και Warrior (Γ) για να συνεννοηθούν:

Ν: Ακούω τις προτάσεις σας, κύριοι.
Γ: Όπως έχω ξαναπεί, το πλοία μας είναι πολύ βαριά, μόνο σε υδράργυρο θα επέπλεαν. Προτείνω ελαφρύτερα κουφώματα με την επαναστατική μέθοδο επεξεργασίας φτελιάς που έμαθα στο…
Θ: Διαφωνώ. Καλύτερα να βάλουμε μπρος στα πλοία με άλλον τρόπο. Τι θα λέγατε να βάλουμε τους μαύρους να τα σπρώξουν λιγάκι;
Ν: Σιγά μη βάλουμε και κινητήρες! Όχι, η λύση μας πρέπει να είναι ριζική, και μόνο ένας τρόπος υπάρχει να τη μάθουμε. Θα ρωτήσουμε στο Μαντείο τον Kolosso. Αυτός ποτέ δεν κάνει λάθος προβλέψεις…

Στο μαντείο, λοιπόν, ο Κολοσσός (Κ), ανάμεσα σε αναμμένους ναργιλέδες, μασώντας φύλλα κόκας και πίνοντας Πέπσι Μax λέει στους ήρωές μας:

Κ: Ο θεός Χόλικ δεν είναι ευχαριστημένος απ’τις θυσίες μας. Τα κατσίκια, λέει, ανήκουν στην προϊστορία. Θέλει για προσφορά ένα συγκεκριμένο αριθμό από πίτσες και DVD NBA Retro, ιδίως DVD.
Ν: Πόσες και πόσα θέλει;
Κ: Αυτό δε μου το αποκαλύπτει. Μου λέει ότι στο άθροισμα δεν υπερβαίνουν τα 100, αλλά με διατάζει να ψιθυρίσω το άθροισμα των 2 αριθμών μόνο στο Warrior και το γινόμενο στο Thrylo. Μετά θα πρέπει να απομονωθούν για μια βδομάδα κάπου που να μη βρίσκουν κίνητρο να σκέφτονται τίποτε άλλο εκτός από τη λύση, αλλά και να μην μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους.
Γ: Πού; Σε καμιά έρημο;
Κ: Χειρότερα. Ο ένας στο σπίτι του Big Brother και ο άλλος στο στούντιο αθλητικών του MEGA.
Ν: Κουράγιο, παιδιά. Θέλει θυσίες η ζωή…Ας κάνουμε ό,τι διέταξε ο Χόλικ.

Πέρασαν οι 7 μέρες και οι 2 σοφοί επέστρεψαν στη βάση τους και στον Dizzy.

Ν: Λεπόν;
Θ: Τίποτα, Σπύρο. Δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς.
Γ: Lol, το ήξερα! Άλλα μη νομίζεις, μπάρμπα…Ούτε εγώ τους ξέρω.
Θ: Έτσι, ε; Τώρα όμως τους ξέρω!
Γ: Κι εγώ, ρε!
Ν: Μπράβο! Let’s go!

Πόσες πίτσες και DVD θα γίνουν θυσία στο Χόλικ;
dizzy_fingers
QUOTE
Θα ρωτήσουμε στο Μαντείο τον Kolosso. Αυτός ποτέ δεν κάνει λάθος προβλέψεις…

24.gif

Φοβερή ιστορία!!! 41.gif
Αλλά δε μας λες το τέλος...πως τελειώνει???

Ε? Είναι γρύφος και πρέπει να βρώ εγώ τη λύση....?

...

huh.gif

...

blink.gif

...

biggrin.gif laugh.gif 21.gif 24.gif 24.gif


Αχααα....καλό ήταν, γελάσαμε και σήμερα.
Τί? Σοβαρά μιλάς?

Καλά λοιπόν...
Τα δεδομένα μας είναι ότι:
1) Ο θεός χόλικ θέλει δύο πράγματα έναν αριθμό Χ από πίτσες και έναν αριθμό Υ από dvd.

2) Ξέρουμε πως το άθροισμά τους είναι μικρότερο από 100:
Χ+Υ<100

3) Το άθροισμά τους (Χ+Υ) το ξέρει μόνο ο Warrior.

4) Το γινόμενό τους (Χ*Υ) το ξέρει μόνο ο θρύλος.

5) Όταν μετά από μία βδομάδα συναντιούνται, ο καθένας από τους δύο λέει ότι δεν βρήκε τους αριθμούς.
Με το που το λέει αυτό ο ένας, ο άλλος καταλαβαίνει/μαθαίνει/συμπεραίνει ένα στοιχείο το οποίο αμέσως συνδιάζει με αυτά που ξέρει και βρίσκει το αποτέλεσμα.


Ωραία ανάλυση των δεδομένων, ε? biggrin.gif
Θα βοηθήσει τώρα κανείς άλλος στο συνδιασμό τους? laugh.gif
thrylos7
24.gif 24.gif 24.gif 24.gif 24.gif
Να δημιουργηθεί στήλη-κατηγορία "post of the month" και να εισαχθεί πάραυτα μέσα!!

Δεν πιστεύω να θέλεις την απάντηση τώρα.. Πρέπει να είμαι εξοπλισμένος με πίστες και ρετρό DVD( icon_wave.gif) ώστε να μπω στην ατμόσφαιρα...
Air Kef
Αφού ξεπεράσω το γεγονός πως ο Air Kef δεν συμμετέχει στο γεγονός angry_red.gif
και αρχηγός είναι κάποιος...dizzy fingers blech.gif ,υποθέτω πως
είναι ανάλογο με το προηγούμενο και κάτι να παίζει με αθροίσματα-γινόμενα από 0(ή 1) έως 99.Θέλει σκέψη και χρόνο,θα τον διαθέσω!!

Ίσως και να μην πλησιάσω αλλά με μαθηματικές πράξεις έχω κάποια σχέση.. biggrin.gif

Edit:Το έγραψα πριν ποστάρουν οι φίλοι και οι υποθέσεις συμπίπτουν με του ντίζι-ντίζελ,χωρίς να του τις αντγράψω.

Good one holic!
Warrior
QUOTE(thrylos7 @ Mar 21 2006, 02:29 PM)
24.gif  24.gif  24.gif  24.gif  24.gif
Να δημιουργηθεί στήλη-κατηγορία "post of the month" και να εισαχθεί πάραυτα μέσα!!
*


thumbsup.gif thumbsup.gif

Εξαιρετικο!!

Βεβαια εγω τωρα καταριεμαι την ωρα και την στιγμη που διαβασα τον γριφο!

Απο την αλλη βρηκα πως θα περασω την ωρα μεχρι να αρχισει ο αγωνας.. laugh.gif

(βεβαια να κανω καμια ερgασια υπολογιζα αρχικα... rolleyes.gif )
ΠΑω να φαω τιποτα να παρω δυναμεις! biggrin.gif

Η λυση καπου στα μη δυνατα γινομενα πρεπει να ειναι...το θεμα ειναι που!!
dizzy_fingers
QUOTE(Warrior @ Mar 21 2006, 03:55 PM)
Η λυση καπου στα μη δυνατα γινομενα πρεπει να ειναι...το θεμα ειναι που!!
*


Πςςςςςςς!!!! 77.gif
Μας κούφανε ο Φυσικός της παρέας τώρα tongue.gif.
Warrior
Ειδαμε και σενα...:

QUOTE
2) Ξέρουμε πως το άθροισμά τους είναι μικρότερο από 100:
Χ+Υ<100


Oυαουυυυυυυυυυυυ!!!
w00t.gif

Μονο σου το σκεφτηκες αυτο... 24.gif

QUOTE
5) Όταν μετά από μία βδομάδα συναντιούνται, ο καθένας από τους δύο λέει ότι δεν βρήκε τους αριθμούς.
Με το που το λέει αυτό ο ένας, ο άλλος καταλαβαίνει/μαθαίνει/συμπεραίνει ένα στοιχείο το οποίο αμέσως συνδιάζει με αυτά που ξέρει και βρίσκει το αποτέλεσμα.


Μην νομιζεις...και μεις διαβασαμε το γριφο... laugh.gif

tongue.gif
dizzy_fingers
Εγώ απλά τα έκανα πιο λιανά για να τα καταλάβετε οι υπόλοιποι cool.gif.

Άντε, βγάλε τις διαφορικές εξισώσεις να βρούμε τί γίνεται! tongue.gif

biggrin.gif
Warrior
Ααααααααααααααα.....

Μπορει να ειναι και Χ+Υ=100,δεν υπερβαινουν τα 100 λεει...
Warrior
Holic,o γριφος ειναι πληρης να υποθεσω και δεν εχει καμια ασαφεια,ε??

ΔΕν φανταζομαι η λυση να προυποθετει δεκαδες υπολογισμους και να
καθομαι να σπαω το κεφαλι μου τσαμπα να βρω τη λυση με συλλογισμους!!?
NBAholic
QUOTE
ΔΕν φανταζομαι η λυση να προυποθετει δεκαδες υπολογισμους και να
καθομαι να σπαω το κεφαλι μου τσαμπα να βρω τη λυση με συλλογισμους!!?


Μάλλον αυτό ισχύει. tongue.gif
Έχετε ένα μήνα διορία.

Α, παρεπιπτόντως, μια μικρή διόρθωση.
Α+Β<100, κι όχι μικρότερο ή ίσο.
thrylos7
1 πίτσα και 4 DVD;;;
NBAholic
QUOTE
1 πίτσα και 4 DVD;;;


Έχετε χρόνο μπροστά σας, παίδες. laugh.gif
thrylos7
Κι αν σου αποδείξω ότι ισχύει;
Warrior
Θρυλε αν ηταν 2 και 2 αντιστοιχα,παλι δεν θα ηξερε ο "Warrior"...

Ενω αν δεν επιτρεπεται οι πιτσες και τα dvd να ειναι ισα θα ηξερε ηδη o "thrylos"
thrylos7
Aπ' ότι είχα εξετάσει ήταν ο μοναδικός λογικός συνδυασμός για τον οποίο θα ίσχυαν όλα τα παραπάνω... Σε μεγαλύτερα νούμερα ξεφεύγει πάρα πολύ και θα πρέπει να ήμασταν εμείς οι 2 πολύ σοφοί(δηλαδή όπως στην πραγματικότητα) για να το βρούμε...

Επειδή είμαι σε internet cafe δε μπορώ τώρα να εξηγήσω τη λύση που είπα(και απ' ότι φαίνεται δεν είναι η σωστή)... αύριο επιστρέφω στη βάση...!
dizzy_fingers
Αναρωτήθηκα κι εγώ που είχες χαθεί αυτές τις μέρες biggrin.gif.
thrylos7
Κάθε μέρα κάτι θα είχα... Την Τρίτη... σε φίλο, Τετάρτη σε άλλον(στο ίδιο σπίτι που ήμουν και στο Μάλαγα - Ολυμπιακός... άρα όταν παίζει εκτός ελληνική ομάδα θα πηγαίνω εκεί...) Πέμπτη σπίτι μου(για λόγους Kidd-M.Malone!) και πλέον στο κανονικό σπίτι(όχι Θεσσαλονίκη..)

Sorry, off topic

Θα επανέρθω δριμύτερος... Άντε να τελειώνει και το fantasy να μπορώ να κάνω πράγματα ήσυχος...

Όσο για το πρόβλημα, αυτό που θυμάμαι αυτή τη στιγμή από το συλλογισμό μου είναι ότι σε κάθε περίπτωση υπάρχουν άλλες υποπεριπτώσεις, είτε στο άθροισμα, είτε στο γινόμενο και πολλές από αυτές είναι αναδρομικές, δηλαδή γυρνάνε στην προηγούμενη υποπερίπτωση... οπότε κανείς από τους δύο δε θα μπορούσε να βγάλει συμπέρασμα... Γι αυτό και κατέληξα στην περίπτωση που θα υπήρχε μόνο μία αναδρομική σχέση ώστε αρχικά να μην ξέρουν και μετά να ξέρουν...
Όποιος κατάλαβε, κατάλαβε... Τα γράφω και βιαστικά...
Air Kef
Αυτό που κατέληξα εγώ είναι πως αυτό που έβαλε ο χόλικ είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα και όχι ένας γρίφος..

Εκτός από τον θρύλο7 ποιοι άλλοι ασχολούνται;;
dizzy_fingers
Εγώ ασχολήθηκα...για 5 λεπτά blush.gif...
thrylos7
Mη βάζεις ούτε εμένα... Τουλάχιστον αν δε δοθεί κανένα hint... Γιατί ξόδεψα ήδη την πρώτη μέρα πολλές ώρες και έκαψα άπειρα εγκεφαλικά κύτταρα... icon_drunk.gif

Αν θέλετε να καταλάβετε κάτι διαβάστε προσεκτικά γιατί δεν τα΄ γραψα και πολύ ξεκάθαρα.

Λοιπόν... έχουμε και λέμε: Έστω ότι είναι 1 και 4. Άρα Γινόμενο 4 και άθροισμα 5.

Θρύλος: Γινόμενο 4, δύο πιθανοί συνδυασμοί: 1Χ4 ή 2Χ2.
Warrior: Άθροισμα 5, δύο πιθανοί συνδυασμοί: 1+4 ή 2+3 (επειδή αναφέρεται "DVD κυρίως" άρα είναι περισσότερα. Η περίπτωση να είναι κάτι 0 πιστεύω είναι ανούσια)

Υπάρχουν 4 απαντήσεις. Η πρώτη είναι του θρύλου(παράξενο μου φαίνεται, να λέω δικιά μου; ) που λέει δεν ξέρω... Λογικό αφού υπάρχουν 2 συνδυασμοί.

Εννοείται και οι δύο έχουν εξετάσει όλα τα πιθανά ενδεχόμενα. Ο Warrior εξετάζει τα γινόμενα 1Χ4 και 2Χ3 σύμφωνα με τα δεδομένα του(δηλαδή μπαίνει στο μυαλό του θρύλου, και αυτός στο δικό του).
Το 1Χ4 υπάρχει ήδη(αναδρομικό)->Γινόμενο 4, οι δύο περιπτώσεις που γνωρίζει εξ αρχής ο Θρύλος->δε μπορεί να ξέρει ο Θρύλος.
Το 2Χ3 πάει σε γινόμενο 6 όπου ο δέυτερος συνδυασμός είναι το 1Χ6. Από αυτό δε θα μπορούσε να ξέρει με τίποτα αφού μετά ξεφεύγει η κατάσταση(1+6=7->7=3+4, 2+5, 1+6-> εξέταση όλων των γινομένων κτλ κτλ..)
Άρα επιβεβαιώνεται η φράση "το΄ξερα" για το δεν ξέρω του Θρύλου στην πρώτη απάντηση του Warrior.
Βγαίνει επίσης το συμπέρασμα ότι ο Warrior δε μπορεί να ξέρει μετά το δικό μου "δεν ξέρω".
Οι δύο τελευταίες προτάσεις είναι ισοδύναμες.

Πως όμως μετά από το "δεν ξέρω" του Warrior εγώ το βρίσκω; Για τον Θρύλο υπάρχουν όπως είπα δύο ενδεχόμενα, 1Χ4 και 2Χ2. Άρα για να "περισσέψει" το 1Χ4 θα πρέπει να δείξω ότι αν ήταν 2Χ2 ο Warrior θα έβγαζε συμπέρασμα ήδη από το "δεν ξέρω" του Θρύλου οπότε θα έλεγε "το ξέρω".
Αν οι αριθμοί ήταν 2Χ2(ελπίζω να μην απορρίπτεται εξ αρχής το ενδεχόμενο να είναι ίδιος ο αριθμός και για τα δύο, διαφορετικά πρέπει να εξετάσω ελαφρώς μεγαλύτερους αριθμούς) το αθροισμά τους θα ήταν 4. Άρα ο Warrior γνωρίζοντας το 4 θα έπαιρνε δύο συνδυασμούς πάλι, το 2+2 και το 1+3. Αν ήταν το 1+3 σωστό, το γινόμενο θα ήταν 3 άρα μοναδικός συνδυασμός το 1Χ3 άρα γνωστό απ' την αρχή οπότε δεν έχει νόημα.
Το 2+2 ναι μεν υπάρχει πάλι(αναδρομικό) αλλά σ' αυτή την περίπτωση υπάρχει διαφορά. Ο Warrior έχει μόνο 2 συνδυασμούς(υποθετικούς πάντα). Τον έναν(1Χ3) θα τον ήξερε εξ αρχής ο Θρύλος. Άρα, από τη στιγμή που ο Θρύλος δεν το ξέρει θα ήταν ο άλλος, δηλαδή ο 2+2.
(Ολα τα τελευταία στο μυαλό του Θρύλου). Όμως ο Warrior λέει και αυτός ότι δεν ξέρει. Άρα απευθείας το 2, 2 απορρίπτεται και μένει το 1, 4.
Τέλος, ο Warrior καταλαβαίνει και αυτός την απάντηση από τα αρχικά του δεδομένα(δηλαδή τα 1+4, 2+3). Στο 2+3 ο Θρύλος δε θα μπορούσε να γνωρίζει αφού όπως εξήγησα τα πράγματα γίνονται πολύπλοκα... Στο 1Χ4 σκέφτεται ότι σκέφτηκε και ο Θρύλος για να το βρει(εξάλλου εξετάζουν όλα τα ενδεχόμενα και βάσει δεδομένων μπορεί να το κάνει, ούτως ή άλλως είναι μια από τις δύο πιθανές περιπτώσεις γι' αυτόν το 1, 4) και απ τη στιγμή που ο Θρύλος βρίσκει την απάντηση, την καταλαβαίνει και αυτός(ξαναλέω με το 2, 3 δε θα μπορούσε να ξέρει ο Θρύλος κι έτσι το απορρίπτει).
Αυτή ήταν η σκέψη μου. Αν βρείτε τρύπες πείτε μου, γιατί όλο και κάτι θα μπορεί να μου έχει ξεφύγει...

Αλλά τελικά είναι λάθος... οπότε holic ίσως μπορείς να μου πεις αν κάτι δεν έχω καταλάβει σωστά.
NBAholic
Δυστυχώς, Θρύλε, το πρόβλημα λέει ήδη "κυρίως DVD", με άλλα λόγια

Α=/=Β.

Παρεπιπτόντως, το πρόβλημα (ναι, είναι μαθηματικό και λογικής μαζί) το βρήκε παλιά ο πατέρας μου (μαθηματικός σε λύκειο) και το έβαλε έκτοτε σε πολλές τάξεις, δίνοντάς τους μεγάλα χρονικά περιθώρια, αλλά κανείς δεν το βρήκε ποτέ. laugh.gif
thrylos7
Χμμ... πρέπει να το ξαναδιαβάσω γιατί κάτι μου λέει ότι ο θεός χόλικ δίνει παραπάνω δεδομένα απ' όσα φαίνονται... πολύ καλύτερα κρυμμένα από το φανερό "κυρίως DVD".
Τουλάχιστον το πάω καλά ή έχω χάσει το δρόμο; Μην παιδεύομαι πάλι και είναι τζάμπα...
Warrior
QUOTE(NBAholic @ Mar 27 2006, 12:27 AM)
Δυστυχώς, Θρύλε, το πρόβλημα λέει ήδη "κυρίως DVD", με άλλα λόγια

Α=/=Β.

*


Το περιμενα οτι θα βγει να μας το πει αυτο... angry_red.gif

Eγω θα ξαναασχοληθω αυριο για να σκοτωσω το αγχος του αγωνα!! biggrin.gif
Bonzo
τι σημαίνει Α=/=β???
Τελος πάντων ο γρίφος με τους μπασκετοπειρατές έχει ώς εξείς...



"έχουμε 5 πειρατές που έχουν κρύψει ένα θυσαυρό με 100 χρυσά νομισματα σε ένα νησί...
Όταν αποφασίζουν να τον μοιραστούν λένε αντί να τον μοιρλάσουν δυα 5 να εφαρμόσουν ένα πρωτοτυπο σύαστημα....
ο πειρατής Νο5 θα κάνει μια πρόταση(πχ ο Νο1 να παρει 10,οΝο2 20,ο Νο3 30 ο Νο4 13, και αυτός,ο Νο5 τα υπόλοιπα..)έπειτα θα κλιθούν να ψηφίσουν αν συμφωνούν με την πρόταση.Αν συμφωνούν οι μισοί +1(αν ο αρι θμός είναι μονός στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω..)η πρόταση επικυρώνεται..Για παράδειγμα για να επικυρωθεί η πρόταση του Νο5 πρέπει να ψηφίσουν θετικά οι 3(δικαίωμα λευκού δεν υπάρχει).Αν όμως η πρόταση καταψηφισθεί αυτός που έκανε την πρόταση δεν παίρνει τίποτα(βγαίνει από την μοιρασία).χάνει το δικαίωμα ψήφου και το δικαίωμα πρότασης περνά στο επόμενο(στον ΝΟ4 στην προκειμένη περίπτωση).
Το ερώτημα είναι:Γνωρίζωντας ότι οι πειραές δεν έχουν σκοπό να χαρίσουν ούτε ένα νόμισμα,είναι απόλυτα φιλάργυροι, πανέξυπνοι και γνωρίζοντα τέλεια μεταξύ τους τι πρόταση πρέπει να κάνει ο ΝΟ5 για να πάρει τα περισσότερα δυνατά νομίσματα???"

Ο γρίφος απευθύνεται κυρίως στον Holic καθώς οι υ΄πολοιποι θα ασχοληθούν μετα την επίλυση του δικού του γρίφου...
Ζητώ συυγνώμη αλλά βαριόμουν να διασκευάσω το σενάριο μπασκετικά...
Είναι πιθανό να έχει κάποια ασάφεια οπότε ρωτάτε ελεύθερα..
Bonzo
Απ΄ότι κατάλαβα σημαίνε α διάφορο του β..

Εγω έχω να παρατηρήσω με μια πρώτη σκέψη που έκανα ότι πρόκειτε για ένα εξαιρετικά δυσκολο γρίφο που φαινομενικά θυμίζει λίγο αυτόν με τα καπέλα(που ο καθένας βλέπει μόνο τους μπροστινούς του)όμως έχει πολύ μεγαλύτερη πολυπλοκότητα και επιπλέον στον τελικο διάλογο έχουμε 4 προτάσεις από τις οποίες εξάγουμε κάθε φορά ένα συμπέρασμα(ίσως και περισστερα).Το πρόβλημα είναι ότι σε κάθε προταση που προχωράμε πρέπςει να λαμβάνουμε υπόψιν και τις προηγούμενες προτάσεις...
Για αυτό λέω ότι το πρόβλημα απαιτεί πολυ σκέψη και σε μια εποχή που το μυαλό μου είναι λίγο νεκρό αμφιβάλλω ιδιαίτερα ότι θα καταφέρω να τη διαθέσω..
Με μια πρόχειρη ανάλυση πάντως άμεσα εξάγουμε ότι το γινόμενο δεν είναι πρώτος αριθμός ου΄τε 4 ούτε 9(γιατί το 4 προκύπτει μόνο απο το 2χ2 και το 9 από το 3χ3)..το πρόβλημα είανι ότι αφενώς δεν υπάρχει τύπος που να υπολογίζεις πρώτους αριθμούς(μόνο κάποιες ψιλομέθοδοι) και ακόμα πιο σημαντικό είναι ότι ακόμα βρίσκομαι στην πρώτη πρόταση..... blink.gif blink.gif blink.gif
thrylos7
...κάπου κόλλησε τo topic.... Γιατί άραγε; Ελάτε ρε παιδιά... τέτοιες εποχές δεν είμαστε για πολλά. Δώστε κανά hint(αν δε δώσετε τη λύση).
NBAholic
Προσφάτως μόλις έπιασα το πρόβλημα του Bonzo και ήθελε αρκετή σκέψη, ιδίως για να αντιληφθεί κανείς ότι το "χάνει τη σειρά του και απαντά ο επόμενος πειρατής" σημαίνει ότι πρέπει να αρχίσει κανείς με την προϋπόθεση ότι μένουν 2 πειρατές (η αρχική σκέψη είναι το απλοϊκό "33 νομίσματα οι 3 και ένα οι άλλοι 2 μαζί, αλλά τότε παραλείπονται δεδομένα). Προσωπικά, πιστεύω ότι καλύτερη διατύπωση θα ήταν να πει ότι οι πειρατές "επιδιώκουν το μέγιστο δυνατό κέρδος" κι όχι ότι είναι απόλυτα φιλάργυροι (γιατί έτσι ο καθένας θα ζητούσε και τα 100 και θα τα έπαιρνε ο τελευταίος). Η λογική είναι ο κάθε πειρατής να "ξαφρίζει" τον πλουσιότερο και μετά να ικανοποιεί οριακά τους αδικημένους για να αποσπά την ψήφο τους.

Με 2 πειρατές, ο πρώτος δεν έχει καμιά ελπίδα. Πρέπει να δώσει και τα 100 στο δεύτερο. Αλλά δεδομένου ότι η μοιρασιά θα είναι 0-100, οι υπόλοιποι πιο μετά θα εκμεταλλευθούν αυτό το πράγμα.

Με σχεδιάγραμμα, έτσι πιστεύω ότι θα γινόταν η μοιρασιά, για κάθε πειρατή που προστίθεται (σε παρένθεση, η πρόθεση ψήφου, Ν αν είναι θετική και Χ αν είναι αρνητική):

2 πειρ: 0 (Ν) 100 (Ν)
3 πειρ: 99 (Ν) 1 (Ν) 0 (Χ)
4 πειρ: 98 (Ν) 0 (Χ) 2 (Ν) 1 (Ν)
5 πειρ: 97 (Ν) 0 (Χ) 1 (Ν) 0 (Χ) 2 (Ν)

Αναλόγως πάμε αν αυξηθεί κι άλλο ο αριθμός των πειρατών. Καλό τρικ και πρόβλημα, όμως.
NBAholic
ΥΓ. Δεν ήθελα να κατασκευάσω το σχεδιάγραμμα έτσι, αλλά δυστυχώς δεν μπορεί κανείς να αφήνει όσα κενά θέλει. Ο πρώτος πειρατής κάθε σειράς είναι αυτός που προστίθεται, κι όχι ο προϋπάρχων (δηλ. ο τελευταίος).
Bonzo
ΜΕ εντυπωσάσες..
Δεν περίμενα να το βρεις με τη πρώτη..
Είσαι ο πρώτος που το βρίσκει χωρίς κανένα τιπ..
Εγώ το χα βρει μετά που μου παν ότι πρέπει να σκεφτώ τι θα γινότα αν έμεναν 2 πειρατες και πάει λέγοντας.. 41.gif 41.gif ohmy.gif ohmy.gif ohmy.gif
NBAholic
Δεν το βρήκα με την πρώτη. biggrin.gif Με την πρώτη πόσταρα την απάντηση απλώς, αφού σκέφτηκα την πρόταση καμιά ...οστή φορές. Φυσικά, θέλει και σχεδιάγραμμα. Με το μυαλό μόνο δε βγαίνει...
pmam
Holic απατεώνα δεν πόσταρες την απάντηση στο γρίφο σου... Και έχω την εντύπωση ότι έχει περάσει πάνω από ένας μήνας. smiley.gif Εκτός και αν δεν τον έχεις λύσει ούτε εσύ... rolleyes.gif
'Η μήπως θα έπρεπε να πω τις απαντήσεις?? cool.gif Εκτός και αν θεωρείται δεδομένη η απληστία του θεού (τρομάρα του tongue.gif peace.gif) Χόλικ...

p.s. Δεν ξέθαψα εγώ το τόπικ, ο Χόλικ το έκανε...
spysta
Λοιπον ειδα και γω το προβλημα .. αν γινεται μην γραψεις ακομα την λυση ΝΒΑHolic (βεβαια δεν το εχεις κανει εδω και δυο χρονια οποτε ισως τσαμπα να αγχωνομαι 69.gif )
Θελω να το παλεψω λιγο και να μην πεσω στον πειρασμο της ετοιμης λυσης ... (καλα δεν το βλεπω να το παλευω για πολυ βεβαια χρονιαρες μερες smiley.gif )
NBAer
QUOTE(NBAholic @ Mar 21 2006, 18:11 ) *
Nύχτα δίχως άστρα στο στρατόπεδο των Παχαιών…Ο βασιλιάς Dizzy (Ν) είναι προβληματισμένος, γιατί σχεδιάζει εκστρατεία εναντίον της αρχαίας Δοίου (η Τροία είχε ήδη καταληφθεί), αλλά δε λέει να φυσήξει αέρας και τα πλοία δε σαλπάρουν. Ο Dizzy κάλεσε τους δυο σοφούς του, Thrylos (Θ) και Warrior (Γ) για να συνεννοηθούν:

Ν: Ακούω τις προτάσεις σας, κύριοι.
Γ: Όπως έχω ξαναπεί, το πλοία μας είναι πολύ βαριά, μόνο σε υδράργυρο θα επέπλεαν. Προτείνω ελαφρύτερα κουφώματα με την επαναστατική μέθοδο επεξεργασίας φτελιάς που έμαθα στο…
Θ: Διαφωνώ. Καλύτερα να βάλουμε μπρος στα πλοία με άλλον τρόπο. Τι θα λέγατε να βάλουμε τους μαύρους να τα σπρώξουν λιγάκι;
Ν: Σιγά μη βάλουμε και κινητήρες! Όχι, η λύση μας πρέπει να είναι ριζική, και μόνο ένας τρόπος υπάρχει να τη μάθουμε. Θα ρωτήσουμε στο Μαντείο τον Kolosso. Αυτός ποτέ δεν κάνει λάθος προβλέψεις…

Στο μαντείο, λοιπόν, ο Κολοσσός (Κ), ανάμεσα σε αναμμένους ναργιλέδες, μασώντας φύλλα κόκας και πίνοντας Πέπσι Μax λέει στους ήρωές μας:

Κ: Ο θεός Χόλικ δεν είναι ευχαριστημένος απ’τις θυσίες μας. Τα κατσίκια, λέει, ανήκουν στην προϊστορία. Θέλει για προσφορά ένα συγκεκριμένο αριθμό από πίτσες και DVD NBA Retro, ιδίως DVD.
Ν: Πόσες και πόσα θέλει;
Κ: Αυτό δε μου το αποκαλύπτει. Μου λέει ότι στο άθροισμα δεν υπερβαίνουν τα 100, αλλά με διατάζει να ψιθυρίσω το άθροισμα των 2 αριθμών μόνο στο Warrior και το γινόμενο στο Thrylo. Μετά θα πρέπει να απομονωθούν για μια βδομάδα κάπου που να μη βρίσκουν κίνητρο να σκέφτονται τίποτε άλλο εκτός από τη λύση, αλλά και να μην μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους.
Γ: Πού; Σε καμιά έρημο;
Κ: Χειρότερα. Ο ένας στο σπίτι του Big Brother και ο άλλος στο στούντιο αθλητικών του MEGA.
Ν: Κουράγιο, παιδιά. Θέλει θυσίες η ζωή…Ας κάνουμε ό,τι διέταξε ο Χόλικ.

Πέρασαν οι 7 μέρες και οι 2 σοφοί επέστρεψαν στη βάση τους και στον Dizzy.

Ν: Λεπόν;
Θ: Τίποτα, Σπύρο. Δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς.
Γ: Lol, το ήξερα! Άλλα μη νομίζεις, μπάρμπα…Ούτε εγώ τους ξέρω.
Θ: Έτσι, ε; Τώρα όμως τους ξέρω!
Γ: Κι εγώ, ρε!
Ν: Μπράβο! Let’s go!

Πόσες πίτσες και DVD θα γίνουν θυσία στο Χόλικ;



Εστω α,β οι 2 ζητουμενοι αριθμοι με α,β ακεραιους και εστω α<β.
Επισης υπαρχει μια ασαφεια ως προς την χρηση πληθυντικου αριθμου και εαν αυτη ηταν σκοπιμη ως προς ητν εξαγωγη δεδομενων ή εγινε κατα λαθος ερημιν του λογου ως προς το:
"Τα κατσίκια, λέει, ανήκουν στην προϊστορία. Θέλει για προσφορά ένα συγκεκριμένο αριθμό από πίτσες και DVD NBA Retro, ιδίως DVD."
Το "ες" στο πιτσες σημαινει α>1(δεν μπορουμε να εχουμε μόνο μια πιτσα δηλαδη) ή οχι? Θα το εκλαβω ως ναι διοτι σε διαφορετικη περιπτωση το προβλημα λυνεται αλλα με περισσοτερους απο εναν τροπους(οι λυσεις ειναι πολλες) και το κανει λιγοτερο κομψο.

Τοτε ισχυουν λογω υποθεσης:
(1) 1 < α < β < 99
(2) 4 < α+β < 100
Και:
Σ =α+β
Ρ =α·β

Επισης ισχυουν οι διαλογοι:
Θ: Τίποτα, Σπύρο. Δεν μπορώ να βρω τους αριθμούς.
Γ: Lol, το ήξερα! Άλλα μη νομίζεις, μπάρμπα…Ούτε εγώ τους ξέρω.
Θ: Έτσι, ε; Τώρα όμως τους ξέρω!
Γ: Κι εγώ, ρε!

Με το ισοδυναμο τους:
Θ1: Δεν μπορω να βρω τους αριθμους.
Γ1: Το ηξερα οτι δεν θα μπορουσες. Ουτε εγω μπορω.
Θ2: Αληθεια? Τοτε εγω τους βρηκα!
Γ2: Α. Τοτε τους ξερω και εγω!


Τωρα εχουμε:
Θ1 => Το α·β δεν παραγοντοποιειται μονοσημαντα(με εναν μόνο τροπο). Καλουμε(3) το συμπερασμα.

Γ1 => Ο Γ ισχυριζεται οτι ο Θ θα αδυνατουσε να μαντεψει τους αριθμους. Πως μπορουσε να το ξερει αυτο ο Γ?
Μόνο εαν ολα τα ζευγη (τ, α+β-τ) αριθμων με τ και α+β-τ να ικανοποιουν τις (1) κ (2), εχουν γινομενο που δεν παραγοντοποιειται μονοσημαντα,

Αρα ισχυει:
(4) Με οποιον τροπο και αν αναλυσουμε το Σ σε αθροισμα 2 αριθμων, το γινομενο των προσθετεων θα ικανοποιει την (3).

Ισχυει τωρα η συνεπαγωγη:
(4) => Το Σ δεν μπορει να παρασταθει ως αθροισμα 2 πρωτων αριθμων. Καλουμε (5) το συμπερασμα.

(6) Καθε Σ αρτιος ομως (με (1),(2) να ισχυουν) απο 4 εως 98 παριστανεται(εικασια Goldbach για αριθμους μικροτερους του 10^5) ως αθροισμα 2 πρωτων αριθμων.

-Εστω Σ αρτιο, τοτε λογω (6) το Σ παριστανεται ως αθροισμα 2 πρωτων αριθμων. Λογω (5) ομως αυτο ειναι ατοπο.
•Αρα Σ ειναι περιττο.

Αν Σ-2 = 1 => Σ=3 => α=1 και β=2 => Ρ=2 τοτε Θ1 δεν ισχυει, αρα Σ-2 > 1
Αρα αφου Σ-2 > 1 τοτε αν Σ-2 ειναι πρωτος αριθμος τοτε:
Σ = 2 + (Σ-2) και ειναι αθροισμα 2 πρωτων αρα (5) δεν ισχυει, αρα ατοπο(αφου (5) ισχυει).
•Αρα Σ-2 ειναι συνθετος.

(7) Αρα Σ περιττος και Σ-2 συνθετος αριθμος καθως και 4 < Σ < 100.

Αρα εχουμε περιορισει καπως τα πιθανα αθροισματα Σ.

Εστω τωρα οτι Σ>53 <=> Σ>54 <=> Σ>=55
Τοτε ισχυει οτι αν γραψουμε το Σ ως Σ = 53 + (Σ-53) τοτε:
53·(Σ-53) = Δ = δ1·δ2 =>
δ1 = 53·κ με κ ακεραιο και μεγαλυτερο του 0.
-Αν κ=1 τοτε:
δ2 = Σ-53

-Αν κ>1 τοτε:
δ1=53·κ > 100 αρα και δ1+δ2 = 53κ+δ2 >100 Το οποιο ειναι ατοπο.

Αρα κ=1 και αρα το 53·(Σ-53) παραγοντοποιειται με εναν μόνο τροπο.
Αρα η αναλυση του Σ ως 53 + (Σ-53) κανει την (4) να μην ισχυει.
Αρα ατοπη η υποθεση οτι Σ>=55.

(8) Αρα Σ < 55

Αφου οι διαδοχικοι περιττοι απεχουν κατα 2 μεταξυ τους και αφου Σ - (Σ-2) = 2 και λογω (7) και (8) αναζητουμε τους συνθετους περιττους Σ-2 μεταξυ 3 και 51 και προσθετουμε 2 για να βρουμε το Σ και βρισκουμε οτι οι αριθμοι που απομενουν ειναι οι Φ:
Φ = { 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53 } και 11 <= Σ <= 53

--Εστω τωρα Σ >= 33
Ο Γ πριν κανει την Γ2 δηλωση του ειχε αναλυσει το αθροισμα στα εξης:
Σ = 31 + (Σ-31)
Σ = 29 + (Σ-29)

Και σκεφτεται οτι αν ειχε δωθει στον Θ το γινομενο 31·(Σ-31) τοτε αυτος χρησιμοποιωντας το (8) και επειδη το 31 ειναι πρωτος αριθμος, θα ειχε καταλαβει οτι το 31·(Σ-31) θα ειχε μια και μονο μια παραγοντοποιηση ετσι ωστε το αθροισμα των 2 ορων της να ικανοποιει την (8).
Το ιδιο σεναριο ισχυει και για το γινομενο 29·(Σ-29).

Οποτε ο Γ δεν θα μπορουσε να προσδιορισει τα α,β ακομα και μετα την δηλωση Θ2.
Ομως ο Γ μπορεσε! Και εκανε την δηλωση Γ2.

Αρα Σ < 33 (10)

Οποτε το Φ λογω (10) γινεται:
Φ = { 11,17,23,27,29 }

Ειναι απαραιτητο να κατανοηθει και να υποτεθει οτι οι αριθμοι του τελευταιου Φ ειναι το ελαχιστο δυνατο συνολο στο οποιο μπορουν να μειωθουν καθως και οτι ο Γ και ο Θ ειναι τοσο εξυπνοι ωστε να τους βγαλουν ολους σε αυτο το σημειο.

Στο σημειο αυτο βλεπουμε πως πριν δωσει την απαντηση Θ2 ο Θ, οι αριθμοι ειναι της μορφης Σ = 2^χ + ψ με χ>=2 και ακεραιο και ψ περιττο πρωτο.

•Εστω οτι α>1(πραγμα που ισχυει λογω υποθεσης) και αυτο το υπεθεσαν και οι Θ,Γ στο σημειο μετα τη δηλωση του Γ1(και αυτο διοτι υποθετουμε οτι ειναι αρκουντως εξυπνοι για να το υποθεσουν αυτο-εαν δεν ειναι τοσο εξυπνοι δεν μπορουμε να αποδειξουμε το προβλημα).
Ο Θ μπορει να μαθει τους α,β μονο με τον εξης τροπο:
Αν Ρ = α·β = (2^χ)·ψ χ>1, χ ακειραιος, ψ πρωτος περιττος τοτε υπαρχει μονο ενα περιττο αθροισμα α+β το οποιο ειναι της μορφης Σ = α+β = 2^χ + ψ.
Αρα προφανως δωθηκε στον Θ ενα τετοιο γινομενο (2^χ)·ψ και αυτος συμπερανε οτι οι αριθμοι ειναι οι 2^χ και ψ για αυτο εκανε και τη δηλωση Θ2.

Οποτε τωρα αν το Σ=α+β εχει 2 αναπαραστασεις της μορφης Σ = 2^χ + ψ με χ>=2 και ακεραιο και ψ περιττο πρωτο, τοτε ο Γ δεν μπορει να κανει τη δηλωση Γ2 και να βρει τους αριθμους, ξερωντας οτι ο Θ εκανε την δηλωση Θ2 και τους βρηκε.
Αλλα την εκανε(ο Γ) την δηλωση Γ2 και αφου:
11 = 2^2 + 7 = 2^3 + 3
23 = 2^2 + 19 = 2^4 + 7
27 = 2^2 + 23 = 2^3 + 19 = 2^4 + 11
οι αριθμοι 11,23,27 απορριπτονται.

Αρα Φ = { 17,29 }

Αν ο αριθμος που δωθηκε στον Γ ηταν ο 29 τοτε αυτος σκεφτηκε(πριν κανει τη δηλωση Γ2) οτι αν παρει την μορφη του 25+4 ή του 16+13 και αν δωθηκε ο αριθμος 100=25·4 ή ο 13·16 στον Θ, τοτε ο Θ θα μπορουσε να κανει τη δηλωση Θ2, αφου 100 = 5·20 αλλα το 20+5=25 δεν ανηκει στο Φ ενω στο 100=2·50, το Σ=50+2=52 ειναι αρτιος και οχι περιττος αρα θα εξηγαγε σαν αριθμους τους 25,4, ενω για το γινομενο Ρ=13·16 = 13·2^4 θα εξηγαγε σαν αριθμους τους 13,2^4, αλλά ο Γ δεν θα μπορουσε να κανει την Γ2 δηλωση αφου δεν θα μπορουσε να βρει ποιοι ειναι οι αριθμοι καθως πχ 13+16 = 29 = 25+4.

Αρα μενει ο Φ = {17}
Ειναι ομως αυτο λυση?

Το 17 αναλυεται σε αθροισμα 2 αριθμων ως εξης:
2+15, 3+14 , 4+13 , 5+12 , 6+11 , 7+10 , 8+9
Για ολα τα γινομενα, με ορους τους προσθετεους των παραπανω αθροισματων, και εκτος του 13·4, ο Θ δεν θα μπορουσε να βρει την απαντηση και να κανει την δηλωση Θ2.
Πχ για 17=2+15 => Ρ=2·15 = 30 το οποιο ειναι ισο και με 5·6 επισης.

Αρα το 4·13 γινομενο ειναι και το μοναδικο που επιβιωνει αρα και οι αριθμοι ειναι:

α=4 και β=13.
Αρα εχουμε οτι πρεπει να γινουν 4 πιτσες και 13 DVD θυσια στον ημιθεο Χολικ.



Not back, but just passing by Regards.... smile.gif sad.gif
thrylos7
ΠΟΥ ΕΙΣΑΙ ΡΕ ΑΝΘΡΩΠΕ???? w00t.gif w00t.gif w00t.gif icon_wave.gif
NBAholic
Wow, μια ώρα πριν λήξει η προθεσμία στο Γουόριορ και δες ποιος μας θυμήθηκε! 41.gif


Πού βρίσκεσαι, ΝΒΑερ; Αισθάνεσαι λίγο πιο χαρούμενος πλέον ή η θλίψη παραμένει; Πότε θα τα ξαναπούμε;
Ναι, 4 και 13 είναι η απάντηση και ναι, ο πληθυντικός αριθμός στην αρχή του προβλήματος είχε λόγο να υπάρχει.







[δόλωμα]ΟΚ, επόμενο πρόβλημα!
Έστω Χ φυσικός αριθμός, οποιουδήποτε μεγέθους. Αν ο Χ είναι ζυγός διαιρέστε με 2, αλλιώς πολλαπλασιάστε με 3 και προσθέστε 1. Με τον αριθμό που θα πάρετε, επαναλάβετε την ίδια διαδικασία, με τον επόμενο την ίδια, κ.ο.κ. Να αποδειχτεί αν ισχύει ότι για κάθε φυσικό Χ, ανεξαρτήτως του πόσο μεγάλος είναι ο αρχικός αυτός Χ, ακολουθώντας τη διαδικασία αυτή, θα καταλήγουμε στο τέλος πάντα στον αριθμό 1.[/δόλωμα]
T.W.Is.M.
QUOTE(NBAholic @ Jul 23 2010, 04:36 ) *
[δόλωμα]ΟΚ, επόμενο πρόβλημα!
Έστω Χ φυσικός αριθμός, οποιουδήποτε μεγέθους. Αν ο Χ είναι ζυγός διαιρέστε με 2, αλλιώς πολλαπλασιάστε με 3 και προσθέστε 1. Με τον αριθμό που θα πάρετε, επαναλάβετε την ίδια διαδικασία, με τον επόμενο την ίδια, κ.ο.κ. Να αποδειχτεί αν ισχύει ότι για κάθε φυσικό Χ, ανεξαρτήτως του πόσο μεγάλος είναι ο αρχικός αυτός Χ, ακολουθώντας τη διαδικασία αυτή, θα καταλήγουμε στο τέλος πάντα στον αριθμό 1.[/δόλωμα]


Αφου ειμαστε σε μπασκετικο φορουμ, ξεκιναμε με τη λεξη μπασκετμπολιστας. Αυτη βγαζει λεξαριθμο 5283. Ειναι μονος, αρα πολλαπλασιαζουμε επι 3 και προσθετουμε 1, 5283*3+1=15850. Ειναι ζυγος, αρα 15850/2=7925. Αυτος ειναι μονος, αρα 7925*3+1=23776. Αυτος παλι ειναι ζυγος, οποτε διαιρουμε δια 2 κι εχουμε 23776/2=11888! Τυχαιο? Δε νομιζω! smiley.gif

Περα απ την πλακα, το προσπαθω το προβλημα, αλλα φοβαμαι οτι μου λειπουν γνωσεις που ισως χρειαζονται. Αν πρεπει βεβαια να συσχετισουμε τη λυση με τις ακολουθιες...
NBAer
QUOTE(NBAholic @ Jul 23 2010, 03:36 ) *
[δόλωμα]ΟΚ, επόμενο πρόβλημα!
Έστω Χ φυσικός αριθμός, οποιουδήποτε μεγέθους. Αν ο Χ είναι ζυγός διαιρέστε με 2, αλλιώς πολλαπλασιάστε με 3 και προσθέστε 1. Με τον αριθμό που θα πάρετε, επαναλάβετε την ίδια διαδικασία, με τον επόμενο την ίδια, κ.ο.κ. Να αποδειχτεί αν ισχύει ότι για κάθε φυσικό Χ, ανεξαρτήτως του πόσο μεγάλος είναι ο αρχικός αυτός Χ, ακολουθώντας τη διαδικασία αυτή, θα καταλήγουμε στο τέλος πάντα στον αριθμό 1.[/δόλωμα]

Ομολογω οτι αυτο το προβλημα ηταν ΠΟΛΥ πιο δυσκολο απο το αλλο και μου πηρε λιγο να το λυσω.
Παμε λοιπον:

(ΜΕΓΑΛΟ HINT: οι ν+1 μορφες κρατανε ενα κλειδι).

Οριζω:
Ν = {0,1,2,3,...}
Ν* = {1,2,3,...}

Το προβλημα ειναι ισοδυναμο με το να πουμε οτι η διαδικασια τερματιζει παντα με την ακολουθια αριθμων 4,2,1.

•Ακολουθια αριθμων Z(ΑΑΖ), ξεκινωντας απο εναν συγκεκριμενο αριθμο Τ, ονομαζεται η ακολουθια των αριθμων που προκυπτουν με βαση την διαδικασια που εγραψες και οριζεται ακριβεστερα ως εξης:
Τ,Τ1,Τ2,...,Τν με ν φυσικο και για καθε Τκ με κ απο 2 εως ν να ισχυει:
-Αν Τκ αρτιος τοτε Τκ+1=(Τκ)/2
-Αν Τκ περιττος τοτε Τκ+1 = (3Τκ)+1
Οπως επισης να ισχυει:
-Αν Τ αρτιος τοτε Τ1=Τ/2
-Αν Τ περιττος τοτε Τ1 = 3Τ+1

•Θετικη ακολουθια αριθμων Z(ΘΑΑΖ), ξεκινωντας απο εναν συγκεκριμενο αριθμο Τ, ονομαζεται η ακολουθια αριθμων Z για να φτασουμε στην ακολουθια 4,2,1 και οριζεται ακριβεστερα ως εξης:
Τ,Τ1,Τ2,...,Τν,4,2,1 με ν φυσικο και για καθε Τκ με κ απο 2 εως ν να ισχυει:
-Αν Τκ αρτιος τοτε Τκ+1=(Τκ)/2
-Αν Τκ περιττος τοτε Τκ+1 = (3Τκ)+1
Οπως επισης να ισχυει:
-Tν=1 ή Τν=8
-Αν Τ αρτιος τοτε Τ1=Τ/2
-Αν Τ περιττος τοτε Τ1 = 3Τ+1

•Αρνητικη ακολουθια αριθμων Z(ΑΑΑΖ) που αρχιζει απο Τ, ειναι μια ακολουθια αριθμων Z που αρχιζει απο Τ που δεν ειναι θετικη, που δεν καταληγει δηλαδη στην ακολουθια 4,2,1 οσες πραξεις και να κανουμε.

Ενα φυσικος αριθμος Τ λεμε οτι ικανοποιει την διαδικασια που εγραψες(και καταληγει στο 1) αν και μονο αν υπαρχει θετικη ακολουθια αριθμων Z, ξεκινωντας απο το Τ.


Θεωρημα-Α1:
Ξερουμε οτι αν εχουμε μια θετικη ακολουθια αριθμων Z που αρχιζει με εναν συγκεκριμενο αριθμο (και τερματιζει-προφανως λογω ορισμου) και αυτος ο αριθμος αποτελει εναν ορο μιας ακολουθιας αριθμων Z που αρχιζει απο Τ, τοτε και η ακολουθια αυτη ειναι θετικη ακολουθια αριθμων Z που αρχιζει απο Τ.

Πχ ξερουμε οτι το 5 τερματιζει(η ΑΑΖ που αρχιζει απο 5 ειναι θετικη) καθως 5,16,8,4,2,1.
Επισης ξερουμε οτι η ΑΑΖ που αρχιζει απο 20 παει: 20,10,5. Οποτε και αυτη θα τερματιζει.


Θεωρημα-Α2:
Αν μια ακολουθια αριθμων Z που αρχιζει απο Τ ειναι αρνητικη, τοτε θα ισχυει Τ = 4κ-1 για καποιο κ στο {1,2,3,...}.

Αποδειξη(με την μεθοδο της ισχυρης μαθηματικης επαγωγης):
Για Τ = 1 εχουμε οτι η ΑΑΖ που αρχιζει απο 1 ειναι θετικη αφου η ΑΑΖ της ειναι 1,4,2,1.

Θα αποδειξουμε οτι αν η ΑΑΖ που αρχιζει απο Τ ειναι θετικη για Τ=1 εως Τ=ν-1, τοτε ειναι θετικη και για Τ=ν.

Εστω λοιπον οτι οι ΑΑΖ που αρχιζουν απο Τ ειναι θετικες για Τ=1 εως Τ=ν-1 για καποιο ν φυσικο μεγαλυτερο του 1.

Ισχυει οτι καθε φυσικος ν μπορει να γραφει με ακριβως εναν απο τους εξης τροπους:
4κ+1, 4κ+2,4κ+3,4κ+4 για κ να ανηκει στο {0,1,2,3,...}

-Για ν = 4κ+4:
Η ΑΑΖ που αρχιζει απο ν θα εχει επομενο μελος του ν το (4κ+4)/2 = 2κ+2 και ισχυει 2κ+2 < ν αρα ειναι θετικη.

-Για ν = 4κ+2:
Η ΑΑΖ που αρχιζει απο ν θα εχει επομενο μελος του ν το (4κ+2)/2 = 2κ+1 και ισχυει 2κ+1 < ν αρα ειναι θετικη.

-Για ν = 4κ+1:
Η ΑΑΖ που αρχιζει απο ν θα εχει επομενο μελος του ν το 3(2·2κ+1)+1 = 12κ+4 και επομενο μελος το 6κ+2 και επομενο το 3κ+1 και ισχυει 3κ+1 < ν αρα ειναι θετικη.

Επομενως καθε ΑΑΖ που αρχιζει απο 4κ+4 ή 4κ+2 ή 4κ+1 ειναι θετικη.
Αρα μια ακολουθια που ειναι αρνητικη δεν μπορει να ειναι της μορφης 4κ+4 ή 4κ+2 ή 4κ+1.
Οποτε μια ακολουθια που ειναι αρνητικη θα ειναι της μορφης 4κ+3 με κ φυσικο.

Το παραπανω ειναι ισοδυναμο με το:
Οποτε μια ακολουθια που ειναι αρνητικη θα ειναι της μορφης 4κ-1 με κ φυσικο μεγαλυτερο του μηδενος.
Αποδειξη για αυτο:
Α = 4κ+3 με κ στο Ν <=> Α = 4ε-1 με ε στο Ν*

Αν Α=4κ+3 με κ στο Ν τοτε ψαχνω να βρω ε στο Ν* ετσι ωστε Α=4ε-1 δηλαδη ψαχνω να βρω ε στο Ν* ετσι ωστε:
4κ+3 = 4ε-1 <=> ε=κ+1 και αφου κ>=0=> κ+1>=1 αρα βρεθηκε ε στο Ν* ετσι ωστε να ισχυει η =>

Αν Α=4ε-1 με ε στο Ν* τοτε ψαχνω να βρω κ στο Ν ετσι ωστε Α=4κ+3 δηλαδη ψαχνω να βρω κ στο Ν ετσι ωστε:
4κ+3 = 4ε-1 <=> κ=ε-1 και αφου ε>=1=> ε-1>=0 => κ>=0 αρα βρεθηκε κ στο Ν ετσι ωστε να ισχυει η <=
ΟΕΔ.


Οποτε:
Οποτε μια ακολουθια που ειναι αρνητικη θα ειναι της μορφης 4κ-1 με κ στο Ν*.

Λογω του θεωρηματος Α1 τωρα, βλεπουμε οτι μια ΑΑΑΖ που αρχιζει με καποιον αριθμο 4κ-1 με κ στο Ν*, πρεπει να περιεχει αριθμους μόνο αυτης της μορφης, ειδαλλως δεν θα ηταν αρνητικη. Αν δηλαδη περιεχει σαν μελος της καποιον αριθμο του οποιου η ΑΑΖ ξεκινωντας απο αυτον ειναθ θετικη, τοτε και η αρχικη ακολουθια δεν θα ηταν αρνητικη αλλά θετικη.

Πρεπει δηλαδη μια αρνητικη ακολουθια αριθμων Z να αποτελειται μόνο απο αριθμους της μορφης 4κ-1 με κ στο Ν*. (Θεωρημα-Α3)


•Οριζουμε ως ΧΑΑΖ που αρχιζει απο Τ, μια ακολουθια αριθμων που προκυπτουν απο μια ΘΑΑΖ που αρχιζει απο Τ (Τ,Τ1,Τ2,Τ3,...,Τν,4,2,1), στην οποια θα εξαλειψουμε τα στοιχεια της Χκ με κ απο 2 εως ν+3(Χ1=Τ, Χ2=Τ1,...,Χν+3=2,Χν+4=1) για τα οποια ισχυει: Χκ = 2φ με φ στο Ν*, δηλαδη θα εξαλειψουμε τα αρτια στοιχεια.
Πχ για την ΘΑΑΖ: 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 εχουμε την αντιστοιχη ΧΑΑΖ της:
7,11,17,13,5,1

Ειναι τελειως προφανες οτι μια ακολουθια ΑΑΖ ειναι θετικη εαν και μονο αν η αντιστοιχη ΧΑΑΖ της περιεχει το 1 ως
ψηφιο. (Θεωρημα-Α4)

Ενω μια ακολουθια ΑΑΖ ειναι αρνητικη εαν και μονο αν η αντιστοιχη ΧΑΑΖ της δεν περιεχει πουθενα το ψηφιο 1.
Δηλαδη το προβλημα μπορει και να λυθει με βαση την ΧΑΑΖ, αν αποδειξουμε οτι καθε ΧΑΑΖ περιεχει παντα ή οχι το ψηφιο 1.


Εχουμε λοιπον:
Υποθετουμε οτι υπαρχει ΑΑΑΖ που αρχιζει απο Τ, που θα ειναι φυσικα της μορφης 4κ-1 με κ στο Ν*.
Τοτε το επομενο νουμερο της ειναι το 3(4κ-1)+1 = 12κ-2 και αρα το επομενο νουμερο της ΧΑΑΖ της θα ειναι 6κ-1.
Και φυσικα θα ειναι της μορφης 4κ-1 για καποιο αλλο κ αυτη τη φορα δηλαδη θα ισχυει:
4κ'-1 = 6κ-1 με κ' στο Ν*.
Δηλαδη 2κ' = 3κ αρα κ'=3α1 και κ=2α2 με α1,α2 στο Ν*

Αρα η τελικη μορφη θα ειναι ενα νουμερο της μορφης 12·α2-1
Και αυτο ειναι το 3 νουμερο της ΑΑΑΖ και 2ο της ΧΑΑΖ.
Αρα σκεφτομενοι αναποδα βλεπουμε οτι το 2ο νουμερο της ΑΑΑΖ ειναι το 24·α2-2 και το 1ο της ΑΑΑΖ και της ΧΑΑΖ ειναι το 8·α2-1 με α2 στο Ν*.

◘Δηλαδη το πρωτο νουμερο μιας ΑΑΑΖ και μιας ΧΑΑΖ βρηκαμε οτι οχι μονο εχει την μορφη 4κ-1 αλλά εχει και την μορφη 8κ-1 με κ στο Ν*.

Επαναλαμβανοντας την διαδικασια δειχνουμε ευκολα οτι:
◘Δηλαδη το πρωτο νουμερο μιας ΧΑΑΖ οχι μονο εχει την μορφη 4κ-1 και την 8κ-1 αλλά εχει και την μορφη 16κ-1 με κ στο Ν*.

Και μπορουμε να ξανα-δειξουμε οτι:
◘Το πρωτο νουμερο μιας ΧΑΑΖ εχει την μορφη 4κ-1, την μορφη 8κ-1, την 16κ-1 αλλά εχει και την μορφη 32κ-1 με κ στο Ν*.

Και γενικα, με μια απλη επαγωγη αυτη τη φορα, δειχνουμε πολυ ευκολα οτι:
◘Το πρωτο νουμερο Τ μιας ΑΑΑΖ εχει τις εξης ν+1 μορφες: Τ = 4·(2^ν)·κ-1 για καθε ν στο Ν με κ στο Ν*.

Ομως το ν αυξανει απεριοριστα δηλαδη το Τ γινεται απεριοριστα μεγαλο, καθως η διαδικασια επαναλαμβανεται απειρες φορες για καθε ν στο Ν, οποτε το Τ δεν ειναι πεπερασμενο.

Οποτε μια ΧΑΑΖ δεν μπορει να αρχιζει με πεπερασμενο αριθμο ουτε(θεωρημα Α3) και να περιλαμβανει στους ορους της καποιον πεπερασμενο αριθμο.
Αρα δεν μπορει να εχει σαν ορο της το 1.
Οποτε(θεωρημα Α4) και δεν μπορει να υπαρξει ΑΑΑΖ.
Αρα ολες οι ΑΑΖ ειναι θετικες.

Αρα αποδειχτηκε οτι η διαδικασια που περιεγραψες τερματιζει παντα στο 4,2,1 δηλαδη στο 1.
Germany96
Ε ρε τι γίνεται, μέσα σε λίγες μέρες ξαναείδαμε posts κι από Morfi κι από NBAer w00t.gif

Χαιρετισμούς κι ελπίζω σε post και σε άλλα topics icon_wave.gif
pmam
Φιλε NBAer καθαρόγραψε τη λύση σου, κατάθεσε την σε μαθηματικούς και μετά πήγαινε να παραλάβεις το βραβείο Fields (αντίστοιχο του Nobel για μαθηματικούς) και μαζί το 1Μ που το συνοδεύει!!! w00t.gif
Το πρόβλημα αυτό ειναι γνωστό με πολλά ονόματα, ένα από αυτά είναι πρόβλημα του Collatz νομίζω, και μέχρι πρόσφατα (?) έμενε αναπόδειχτο! Δεν πρόλαβα να κοιτάξω την απόδειξή σου, αλλά αν πράγματι είναι σωστή πηγαίνεις ταμείο!
Πραγματικά 77.gif 77.gif 77.gif αν είναι σωστό!!!
pmam
Συγγνώμη για το double (και πιθανόν πολλαπλό! συγγνώμη προκαταβολικά! peace.gif ) post αλλά με έχει στοιχειώσει...
QUOTE(NBAer @ Nov 9 2010, 19:36 ) *
Πρεπει δηλαδη μια αρνητικη ακολουθια αριθμων Z να αποτελειται μόνο απο αριθμους της μορφης 4κ-1 με κ στο Ν*. (Θεωρημα-Α3)

Αυτός ο ισχυρισμός τελειώνει την απόδειξη.
4κ-1 -> 12κ-2=/= (διάφορο) 4ρ-1

QUOTE
Θεωρημα-Α2:
Αν μια ακολουθια αριθμων Z που αρχιζει απο Τ ειναι αρνητικη, τοτε θα ισχυει Τ = 4κ-1 για καποιο κ στο {1,2,3,...}.

Αποδειξη(με την μεθοδο της ισχυρης μαθηματικης επαγωγης):
Για Τ = 1 εχουμε οτι η ΑΑΖ που αρχιζει απο 1 ειναι θετικη αφου η ΑΑΖ της ειναι 1,4,2,1.

Θα αποδειξουμε οτι αν η ΑΑΖ που αρχιζει απο Τ ειναι θετικη για Τ=1 εως Τ=ν-1, τοτε ειναι θετικη και για Τ=ν.

Έτσι δεν υποθέτεις όμως ότι όλα τα Τ=4κ-1<ν σχηματίζουν ΘΑΑΖ? (=>καθώς το ν πηγαίνει στο άπειρο δηλαδή, υποθέτουμε ότι κάθε Τ=4κ-1 σχηματίζει ΘΑΑΖ). Ίσως βέβαια να μην δημιουργεί πρόβλημα, αλλά δεν το νιώθω σωστό και δεν έχω την απαραίτητη διαύγεια τώρα για να το σιγουρέψω...
This is a "lo-fi" version of our main content. To view the full version with more information, formatting and images, please click here.
Invision Power Board © 2001-2019 Invision Power Services, Inc.