άντε airambado, kolossos! για πείτε! καλά ο airambado που είναι τόσο καιρό; πήγε ISBC; γιατί έμπαινε πιο συχνά στο φόρουμ όταν έγραφε εξετάσεις παρά τώρα που τελείωσαν........

Πέρασε κιόλας ένας χρόνος. ΚΑλή επιτυχία σε όσους γράφουν αύριο!
Και κάτι πολύ σωστό που είχε γράψει ο thrylos7 σε ένα άλλο τόπικ πριν πολύ καιρό



Επίσης θέλω να δώσω μία συμβουλή σε όσους δίνουν... Γράφτε στα @@ σας τις συμβουλές

ΝΑΙ ΡΕ ΦΙΛΕ!!!!

Καλή τύχη σε όσους δίνουν

Εγω δε θα τους ευχηθώ καλή επιτυχία, γιατί αντί να χαζολογάνε στο Ίντερνετ να κάτσουν να διαβάσουν!(έχω στα μυαλό μου 1-2 άτομα)
Τέσπα...
Αρίστην επιτυχία!(είναι πλεονασμός, αλλά σας το εύχομαι)

καλή επιτυχία σε όλους και κυρίως καλή τύχη! σε αυτή τη χώρα η τύχη χρειάζεται!
άντε εγώ του χρόνου! έχω ακόμη...

οντως κολοσσε περασε ενας χρονος..... και ομως ειμαι ακομα εδω!
δινω δευτερη φορα και ελπιζω αυτη τη φορα να μπω εκει που θελω.

καλη μας επιτυχια

και ο mono marousi δίνει!καλή επιτυχία Νικολάκη!

θα του μεταδώσω τις ευχες σου mpo

Όσοι έχουν περάσει από τον βραχνά των πανελληνίων όπως η αφεντιά μου πριν δέκα ( πώς πέρασαν έτσι?) χρόνια ξέρουν πως νιώθουν όσοι δίνουν.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ σε όλους και από εμένα. Και μην αγχώνεστε για το αν και που θα περάσετε. Τελικά ο καθένας βρισκει τον δρόμο του. Και εγώ πολυτεχνείο έχω τελειώσει και τελικά με βλέπω να ανοίγω τσιπουράδικο. ΕΒΙΒΑ!!!! (βοηθάει και στο διάβασμα )

Kαλή επιτυχία σε όλους...
Πω... του χρόνου θα είμαι στη θέση σας...

Καλή επιτυχία παιδιά!Τα έχω κ φρέσκα οπότε ξέρω τι περνάτε!

Καλη επιτυχία, και προς Θεού όχι άγχος!
Επίσης τα πάντα είναι θέμα ψυχολογίας! Πρεπει να πάτε όλοι με ψυχολογία ότι θα τους πάρετε τα σώβρακα
Καλή επιτυχία σε όλους και μην τα παρατάτε σε καμία περίπτωση, ότι και να γίνει!!! Παλέψτε μέχρι τέλους, σα να χάνατε με ένα πόντο στον αγώνα και έχετε πάρει την τελευταία επίθεση!

Σας εύχομαι
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.


ΝΑ ΑΠΟΤΥΧΕΤΕ ΟΛΟΙ ΣΑΣ ΝΑ ΜΗΝ ΓΡΑΨΕΤΕ ΤΙΠΟΤΑ!


για να περάσει η αδελφη μου που δινει κι αυτη.




Αστειεύομαι.

Καλή επιτυχία και χωρίς αγχος.ΔΝ κρίνετε η ζωή σας από αυτό.ΕΙναι πολύ υπερτιμημένες και θα το δειτε μετά.

Air Kef = morfi;;;

Καλή αυτοσυγκέντρωση και ηρεμία...

Δεν υπάρχει λόγος να έχετε άγχος (αν και αποκλείεται να μην έχετε)... Μην ξεχνάτε ότι πάτε να δώσετε τον καλύτερο σας εαυτό.. Αποφασιστικότητα λοιπόν... Αν πάρετε τον αέρα μετά τελείωσε... Θα σας φαίνεται παιχνιδάκι...

Όντως, παιδιά μην αγχώνεστε και προπάντως μην μπαίνετε σε όλο αυτό το λούκι του "πρέπει να περάσω οπωσδήποτε σε μία σχολή".
Εκτός κι αν είναι αυτό που θέλατε από μικροί, δεν υπάρχει λόγος να σκάτε.

Ο καθένας βρίσκει τον δρόμο του....μεγάλη κουβέντα.


Το τσιπουράδικο πότε το ανοίγεις ρε Μπαραμπάκε?

Πίρσι, εσύ πως και δίνεις πανελλήνιες? Γιατί νόμιζα ότι είσαι σε κάποια σχολή?

σωστα νομιζες οτι ειμαι σε καποια σχολη (συγκεκριμενα τει διοικησης επιχειρησεων χαλκιδα)
ωστοσο εχω πατησει μονο για την εγγραφη (ουτε το πασο δεν εχω παει να παρω )
ξαναδινω γιατι θα ηθελα να μπω σε μια απο τις πανεπιστημιακες οικονομικες σχολες της αθηνας(πωωω πως το εγραψα ετσι ο κερατας... )

Δυστηχως κι εγω!

αρκετα ευκολα τα σημερινα θεματα.(btw πολυ στο ψυχοπονιαρικο το εχουν ριξειει τα τελευταια 2 χρονια) ειδικα οι ασκησεις ηταν τις πλακας. συνεχιζουμε 1/7

Δλδ καλά τα πήγες, έτσι?Εις ανώτερα!

Για να λεει οτι ηταν ευκολα καλα θα τα πηγε!

ναι μια χαρα τα πηγα ευχαριστω

Πως τα πηγατε εσεις που γράφετε ??

Έκθεση δεν ήταν το μάθημα; Ποιό ήταν το θέμα;

Αυτό είπα και εγώ μόλις είδα τα θέματα

Μπράβο παιδιά!Κ εις ανώτερα!!!

Και γω του χρονου πανελληνιες
Προβλεπετε πολυ δυσκολη η χρονια μεχρι το Μαιο...

Αλλα τοτε αρχιζουν τα ωραια: ολοι σε φροντιζουνε και το μονο που πρεπει να κανεις ειναι να πας να γραψεις
Πρεπει να ειναι τελεια

Ναι,αν εξαιρεσεις το αγχος,τελεια!

Τελεια ειναι οι εξετασεις στις πιο μικρες ταξεις !!
Απιστευτο αραγμα.

2/7 σημερα με αρκετα ευκολα θεματα στα μαθηματικα γενικης. τουλαχιστον ετσι μου φανηκαν εμενα,ωστοσο παιδια που εδιναν πρωτη φορα τα βρηκαν βουνο(που να εδιναν με τα περσινα θεματα) .συνεχεια την πεμπτη με μαθηματικα κατ

Δεν λες τίποτα...!!!

όχι κ άραγμα...Άσχετα αν μέχρι στιγμής έχω παραδώσει πολύ καλά γραπτα!
Τα θέματα άκουσα εύκολα στους α-κάθιστους, ε?

Καλα παραδοσιακα τα μαθηματικα γενικης ειναι μαθημα της πλακας.Δεν ξερω αν αλλαξε αυτο με την αλλαγη του συστηματος αλλα πριν 3-4 χρονια με αυτο το μαθημα γελουσαμε.

Τωρα για τα μαθηματικα κατ τι να πω;;;Απλα κουραγιο Πιρς.Παλευονται αλλα θα πρεπει να ειναι το πιο δυσκολο μαθημα που δινεις.Οποτε πολυ πολυ καλη επιτυχια.Οταν θα τελειωσει και αυτο θα εχεις κανει σχεδον τα μισα οποτε θα σαι πλεον ανετος

οπως ελεγα και στο θρυλο τα μαθηματικα τα παλευω και μου αρεσουν γενικα.
το πιο δυσκολο ,για μενα τουλαχιστον, ειναι η φυσικη.
ευχαριστω πολυ απκατ

Όντως, κάπως έτσι τα βλέπαμε πολλοί της θετικής ή τεχνολικής κατεύθυνσης. Δεν ισχύει το ίδιο όμως και με τους μαθητές της θεωρητικής... Όταν έδωσα εγώ (και απ' ότι καταλαβαίνω) και τα επόμενα χρόνια, υπήρχαν θέματα που έπρεπε να υπερβάλλουν εαυτό για να λύσουν.

Στις προτιμήσεις πάντως, μου άρεσε περισσότερο η φυσική και λιγότερο τα μαθηματικά κατεύθυνσης... Βέβαια, με τα μαθηματικά που κάνω τώρα, μου φαίνονται αστεία αυτά.

Και μενα οι φυσικες ηταν σαφως τα αγαπημενα μου μαθηματα.Ετσι δικαιολογειται και ο ενας χρονος στο Φυσικο..Βεβαια απο το δευτερο εξαμηνο ηξερα οτι θα εφευγα απο κει

Τα μαθηματικα γενικης οταν εδωσα εγω(2004) ηταν αρκετα ευκολα και για μαθητες θεωρητικης.

Γενικά κ εμένα τα μαθηματικά γενικής μου φαίνονταν της πλάκας!Αλλά αυτά της κατεύθυνσης ήταν αρκετά δύσκολα γιατί έπρεπε να βρεις 1 από τους 100 τρόπους που είχες μάθει να λύνεις ασκήσεις...Κ αν ξεκινούσες με λάθος τρόπο κάηκες...Η Φυσική κατ.νομίζω ήταν πιο εύκολη!Καλή επιτυχία Pierce την Πέμπτη!

Τα μαθηματικα γενικης δεν ειναι της μαθηματικα της πλακας. Απλα δεν ειναι μαθηματικα! Ειναι ενα ανουσιο μαθημα που το ονομαζουν μαθηματικα, χωρις ομως να εχει καμια σχεση με το τι ειναι τα μαθηματικα .
Καλα για να μην τα ισοπεδωνω ολα εχουν καποια ουσια, αλλα δυστυχως εκτος του οτι δεν προαγουν τη λογικη, δεν ειναι σε υψηλο επιπεδο η θεματολογια τους και η υλη τους, ανταμειβουν και την παπαγαλια δηλαδη το "Μαθαινω το Α, με ρωτανε το Α, γραφω το Α"




Η φυσικη κατευθυνσεως παροτι πιστευω οτι μετριως δυσκολη, πιστευω επισης οτι δεν ειναι και αυτη καν φυσικη. Απλα μια αρκετα ανουσια μη-μαθηματικοποιημενη γενικολογια περι της φυσικης, στην οποια και παλι η παπαγαλια και η αποστηθιση τυπων, κυριαρχουσαν εναντι της παραγωγικης σκεψης περι την λυση ενος προβληματος.....




Διαφωνω αρκετα με αυτο το πρωτο καθως και εδω πιστευω οτι, παροτι τα πραγματα ηταν σαφως πολυ καλυτερα και η υλη και το επιπεδο προσεγγιζει αυτο που θα επρεπε να αντιπροσωπευει το μαθημα των μαθηματικων κατευθυνσης, και εδω υπαρχει μικρη σε ογκο υλη που καλυπτει λιγα πραγματα αλλα και γιατι και παλι η "τυποποιημενη" νοοτροπια υπηρχε και σ'αυτο το βιβλιο σε μικροτερο σαφως βαθμο....

Οσο για το "έπρεπε να βρεις 1 από τους 100 τρόπους που είχες μάθει να λύνεις ασκήσεις" διαφωνω καθετα και οριζοντια και διαγωνια!
Οταν αναφερεσαι σε μαθηματικα και λες "τροπους που εχουμε μαθει να λυνουμε", εισαι ηδη τρομαχτικα εκτος της νοοτροπιας των μαθηματικων!


Δυστυχως η νοοτροπια και ο τροπος διδασκαλιας των μαθηματικων στα ελληνικα σχολεια ειναι τρομαχτικα τραγικος! Απλα μαθαινουν καποια τυποποιημενα πραγματα και αν τους ζητηθει να λυσουν κατι εξω απο το "τυπολογιο" τους τοτε τα πραγματα ειναι δραματικα δραματικα.... Για αυτο αλλωστε και η γεωμετρια δυσκολευει τους περισσοτερους....

Πχ ενω τα επομενα 2 προβληματα χρειαζονται για να λυθουν γνωσεις 2ας αντε 3ης λυκειου ειμαι πολυ απαισιοδοξος για το ποσοστο μαθητων που θα μπορουσαν να τα λυσουν και αυτο διοτι το μεν πρωτο λυνεται πανευκολα αν ξερεις βασικες αρχες λογικης(πραγμα που ουτε καν διδασκεται στα ελληνικα σχολεια στο μαθημα των μαθηματικων) ή αρκετα ευκολα ακομα και χωρις "αυτες" τις βασικες αρχες λογικης, το μεν 2ο ειναι πολυ απλο αρκει να ΣΚΕΦΤΕΙΣ!


1ο
Για αριθμο α φυσικο:
Αν α^2 ειναι ενας αρτιος φυσικος αριθμος, να δειχτει οτι και α ειναι αρτιος αριθμος, με 2 τροπους.
Αν α^2 ειναι ενας περιττος φυσικος αριθμος, να δειχτει οτι και α ειναι περιττος αριθμος, με 2 τροπους.


2ο
Να δειχτει οτι ο 123 ειναι μια μαυρη τρυπα που ολοι οι φυσικοι αριθμοι καταληγουν σε αυτον!

Καταληγουν με την εξης απλουστατη διαδικασια: Παιρνουμε εναν φυσικο αριθμο πχ τον 2366741.
Μετραμε ποσα ψηφια του ειναι αρτια, ποσα περιττα και τα συνολικα του ψηφια.
Και γραφουμε (αρτια ψηφ.)(περιττα ψηφ.)(συνολικα ψηφ.) και σχηματιζουμε ενα νεο αριθμο.

Δηλαδη για τον 2366741 εχουμε 4 αρτια, 3 περιττα και 7 συνολικα ψηφια.
Οποτε γραφουμε 437. Δηλαδη ο 2366741 καταληγει στον 437.
Δηλαδη 2366741-->437
Επισης ο 437 εχει 1 αρτιο και 2 περιττα ψηφια και 3 συνολικα οποτε γραφεται 123. Αρα 437-->123.

Πχ για τον 78991 εχουμε 78991-->145-->123
Πχ για τον 4700487988888832798979210-->151025-->246-->303-->123
Πχ για τον 1-->011-->11-->022-->22->202-->303-->123

Πολύ θα ήθελα να δω τους δεύτερους τρόπους λύσης στο 1ο πρόβλημα. Τα άλλα είναι απλά.

Παντως ενω συμφωνω σε ολα που εχεις γραψει σε αυτο για τη Φυσικη κατευθυνσης διαφωνω..

Δεν ειναι δυνατον να λες οτι δεν ειναι καν Φυσικη η Μηχανικη.Γιατι ολο το βιβλιο για μηχανικη μιλα.Ταλαντωσεις,κυμματα ισορροπια δοκων,ραβδων κλπ κλπ.Κλασσικοτατη μηχανικη.

αρκετα δυσκολα θεματα στα μαθηματικα κατευθυνσης. εμενα παντως μου φανηκαν μετρια αλλα σε αρκετους συμμαθητες μου τους φανηκαν βουνο. 3/7. αν περασει και η φυσικη τελειωσαμε...

Τι ωραια που ειναι να πηγαινεις δευτερα Λυκειου!!

μπα...δε μ΄αρέσει!Εγώ γ γυμνασίου, βλέπω αυτά μπροστά μου κ τρομάζω.....

Προεκλογικά θέματα παιδιά,τι να λέμε.
Να βγάλουν όλοι 10.000 μόρια να μπούνε κάπου για να μην γκρινιάζουν οι μαμάδες.

Το πρωι στον Αυτια ελεγε κατι οτι τα θεματα τις φυσικης ηταν πολυ δυσκολα και δοθηκαν 3 επεξηγησεις..

τα θεματα της φυσικης ηταν μετριας δυσκολιας και αναμενομενα . ενας μετρια διαβασμενος χτυπαγε 16(αλλο που εγω ψιλο εκανα μ@λακιες ). οι επεξηγησεις δεν ηταν τιποτα το σπουδαιο.

Αν και OFF-Topic και καθυστερημενα αφου το ειδα τωρα, αφου ο Flash το ζητησε:


1ο προβλημα.

Αποδειξη του:
Για αριθμο α φυσικο:
Αν α^2 ειναι ενας αρτιος φυσικος αριθμος, να δειχτει οτι και α ειναι αρτιος αριθμος, με 2 τροπους.

-------------------------------------------
1ος τροπος:

1η Περ. α=0.
Τοτε α^2=0 αρτιος. Επισης α=0 αρτιος.
Οποτε η συνεπαγωγη: (α^2 αρτιος) => (α αρτιος) ισχυει.

2η Περ. α θετικος φυσικος.
Εστω α^2 αρτιος. Τοτε α^2 = 2κ (1) με κ θετικο φυσικο.
Τοτε (1)=> α^2-1 = 2κ-1 => (α-1)(α+1) = 2κ-1.
Το 2κ-1 ειναι περιττος αρα το (α-1)(α+1) ειναι περιττο επισης.
ΤΟ γινομενο δυο φυσικων ειναι περιττο αν και μονο αν και οι 2 ειναι περιττοι.
Αρα α-1 και α+1 ειναι περιττοι.
Αρα α-1 = 2ρ+1 με ρ φυσικο, οποτε α = 2ρ+1+1 = 2ρ+2= 2(ρ+1), που ειναι αρτιος.
-------------------------------------------

2ος τροπος:

Εστω α ειναι περιττος φυσικος. Τοτε α = 2κ+1 με κ φυσικο.
Τοτε ισχυει α^2 = (2κ+1)^2 = 4κ^2 + 4κ + 1 = 2(2κ^2+2κ) + 1 = 2τ+1 αρα περιττος.
Αρα ισχυει η συνεπαγωγη: (α περιττος) => (α^2 περιττος).

Οποτε ισχυει και η αντιθετοαντιστροφη της: (α^2 ΟΧΙ περιττος) => (α ΟΧΙ περιττος)
Αυτο το τελευταιο και αφου αν ενας αριθμος δεν ειναι περιττος θα ειναι αρτιος, ειναι φανερο οτι σημαινει:
(α^2 αρτιος) => (α αρτιος)


Σημειωση:
""""""Οταν ισχυει μια συνεπαγωγη πχ (Αν χ=3) τοτε (α+β>γ) τοτε ισχυει και η αντιθετοαντιστροφη της δηλαδη: (Αν α+β<=γ) τοτε (χ διαφορο του 3) και αυτο γιατι εστω οτι:
-Ισχυει η (χ=3)=>(α+β>γ).
-Υποθετουμε οτι ισχυει και η: (α+β<=γ)=>(χ=3) Ομως λογω της προηγουμενης εχουμε οτι (χ=3)=>(α+β>γ) αρα και (α+β<=γ)=>(α+β>γ). Το τελευταιο ειναι ατοπο γιατι δεν μπορει μια προταση να συνεπαγεται την αντιθετη της!
Οποτε η συνεπαγωγη που υποθεσαμε δεν ισχυει. Και δεν ισχυει λογω του δευτερου μελους της, δηλαδη του χ=3. Οποτε η συνεπαγωγη που ισχυει ειναι η (Αν α+β<=γ)=>(χ διαφορο του 3) """""""

-------------------------------------------

Το 2ο σκελος του 1ου ερωτηματος δηλαδη το:
Για αριθμο α φυσικο:
Αν α^2 ειναι ενας περιττος φυσικος αριθμος, να δειχτει οτι και α ειναι περιττος αριθμος, με 2 τροπους.

....λυνεται τελειως αντιστοιχα με το 1ο σκελος.

--------------------------------------------------------------------------------------

2ο προβλημα.

Αποδειξη του:
Να δειχτει οτι ο 123 ειναι μια μαυρη τρυπα που ολοι οι φυσικοι αριθμοι καταληγουν σε αυτον, με την διαδικασια:
Μετραμε ποσα αρτια και ποσα περιττα και ποσα συνολικα ψηφια εχει ο αριθμος και γραφουμε (αρτια ψηφ.)(περιττα ψηφ.)(συνολικα ψηφ.) και σχηματιζουμε ενα νεο αριθμο. Κανουμε το ιδιο ωσπου να καταληξουμε στο 123.


Εστω κ ενας θετικος φυσικος.
-------------------------

Αν κ=1000 τοτε η διαδικασια δινει: 1000->314->123 Οποτε ισχυει για κ=1000.
-------------------------

Εστω κ>999

Ο κ γραφεται: κ = Αν·10^ν + Α(ν-1)·10^(ν-1) + Α(ν-2)·10^(ν-2) + .... + Α1·10 + Αο.

--Ισχυει λοιπον προφανως κ >= 10^ν.

Εστω οτι απο αυτα τα ν ψηφια του αριθμου κ τα φ ειναι αρτια και τα μ περιττα. Φυσικα φ+μ = ν.
Προφανως ο νεος αριθμος θα ειναι της μορφης "φ""μ""φ+μ" με το "" απλα σημαινει ενωση των αριθμων σε εναν, δηλαδη πχ αν εχουμε τον φ=12, μ=5 θα εχουμε τον αριθμο 12517 να συμβολιζεται με το "12""5""17".

--Ισχυει τωρα οτι "φ+μ""φ+μ""φ+μ" > "φ""μ""φ+μ" δηλαδη "ν""ν""ν" > "φ""μ""φ+μ".


++Αρκει λοιπον να δειξουμε οτι 10^ν > "ν""ν""ν" οποτε θα ισχυει κ > "φ""μ""φ+μ". Δηλαδη ο αριθμος που προκυπτει απο την διαδικασια εφαρμοσμενη στον κ θα ειναι μικροτερος απο τον κ.


Τωρα, εστω ν = Βγ·10^γ+ Β(γ-1)·10^(γ-1) + Β(γ-2)·10^(γ-2) + .... + Β1·10 + Βο με γ>=1.

Τοτε:
"ν""ν""ν" = (Β(3γ+2)·10^(3γ+2) +....+ Β(2γ+2)·10^(2γ+2)) + (Β(2γ+1)·10^(2γ+1) +....+ Β(γ+1)·10^(γ+1)) + (Βγ·10^γ +....+ Β1·10 + Βο)

Αρα πρεπει να δειξουμε οτι:
10^(Βγ·10^γ +....+ Β1·10 + Βο) > (Β(3γ+2)·10^(3γ+2) +....+ Β(2γ+2)·10^(2γ+2)) + (Β(2γ+1)·10^(2γ+1) +....+ Β(γ+1)·10^(γ+1)) + (Βγ·10^γ +....+ Β1·10 + Βο) (2)


Ισχυουν:
(9·10^(3γ+2) +....+ 9·10^(2γ+2)) + (9·10^(2γ+1) +....+ 9·10^(γ+1)) + (9·10^γ +....+ 9·10 + 9) >=
(Β(3γ+2)·10^(3γ+2) +....+ Β(2γ+2)·10^(2γ+2)) + (Β(2γ+1)·10^(2γ+1) +....+ Β(γ+1)·10^(γ+1)) + (Βγ·10^γ +....+ Β1·10 + Βο)
και
10^(Βγ·10^γ +....+ Β1·10 + Βο) > 10^(10^γ)


Αρα για να δειχτει η (2) αρκει να δειχτει η:
10^(10^γ) > (9·10^(3γ+2) +....+ 9·10^(2γ+2)) + (9·10^(2γ+1) +....+ 9·10^(γ+1)) + (9·10^γ +....+ 9·10 + 9) (3)

Ισχυει τωρα:
(9·10^(3γ+2) +....+ 9·10^(2γ+2)) + (9·10^(2γ+1) +....+ 9·10^(γ+1)) + (9·10^γ +....+ 9·10 + 9) =
9·(1·(10^(3γ+3)-1)/9) = 10^(3γ+3)-1 (5)


Αρα ισχυουν οι ισοδυναμιες λογω (5):
(3) <=> 10^(10^γ) > 10^(3γ+3)-1

Αρα αρκει να δειχτει οτι 10^(10^γ) > 10^(3γ+3) <=> 10^γ > 3γ+3
Το τελευταιο δειχνεται οτι ισχυει για γ>1 πολυ απλα.

Οποτε ισχυει η ισοδυναμη (3) αρα και η (2) αρα και η 10^ν > "ν""ν""ν" αρα και η κ > "φ""μ""φ+μ".


Αρα για καθε αριθμο κ>999 ο επομενος αριθμος κ1 μετα την εφαρμογη της διαδικασιας θα ειναι κ1<κ.
Ο επομενος του κ1 θα ειναι κ2<κ1 κλπ.
Οποτε τελικα θα προκυψει αριθμος μικροτερος του 1000 ανεξαρτητως του αρχικου αριθμου.
-------------------------

Τωρα θα δειχτει οτι ισχυει για ολους του αριθμους μικροτερους του 1000.
Θα δειχτει για κ<1000.


Εστω 99<κ<1000:

Kαθε 3ψηφιος αριθμος περιεχει:
(0,3,3)
(1,2,3)
(2,1,3)
(3,0,3)
Οριζοντας το (α,β,γ) ως: (αριθμος των αρτιων ψηφιων, αριθμος περιττων ψηφιων, συνολικος αριθμος

ψηφιων)

Οποτε θα παρουμε σε καθε μια περιπτωση:
(0,3,3)-->033-->33-->022-->22-->202-->303-->123
(1,2,3)-->123
(2,1,3)-->213-->123
(3,0,3)-->303-->123
----------------------------------------------------

Εστω 9<κ<100

Καθε διψηφιος αριθμος περιεχει:
(2,0,2)
(1,1,2)
(0,2,2)

Οποτε θα παρουμε σε καθε μια περιπτωση:
(2,0,2)-->202-->303-->123
(1,1,2)-->112-->123
(0,2,2)-->022-->22-->202-->303-->123

Μενει να το δειξουμε για κ<10.
Εφαρμοζοντας την διαδικασια για καθε φυσικο αριθμο απο το 1 εως το 9 βλεπουμε οτι ισχυει.


Αρα ισχυει για καθε φυσικο αριθμο κ>0.
----------------------------------------------------



Flash: Δεν μπορεσα να μικρυνω την αποδειξη για το 2ο προβλημα. Εσυ ποια αποδειξη ειχες στο μυαλο σου? Αν ειχες καμια μικροτερη κανε την post ή anyway στειλε μου PM με οποιαδηποτε αποδειξη ειχες στο μυαλο σου γιατι παντα ενδιαφερομαι για καθε ειδους αποδειξη....

Καλα αποτελεσματα στους υποψηφιους.

ΜΑΡΙΛΕΝΑ ΓΕΡΑ.

Εχει γινει θεμα με το οτι διερευσαν θεματα στις 9.30.
Ξερει καποιος περισσοτερα;

καποια φροντιστηρια ''σκοτωνονται'' ποιο θα βγαλει πιο γρηγορα τις λυσεις. λες και απο αυτο εξαρταται αν κανει σωστα τη δουλεια του . καθαρα φροντιστηριακο θεμα, και για αυτο αν δεν κανω λαθος συνελήφθη ο προεδρος των ιδιοκτητων φροντιστηριων


εγω εχω και αυριο. το μεγαλυτερο μερος του βαθμου παιζεται.ελπιζω οτι ολα θα πανε καλα